Un langage, ou problème, décrit une famille d’éléments partageant une série de caractéristiques déterminées. Il définit par le même fait l’appartenance ou non d'un élément à cette famille sans ambiguïté possible. Plusieurs problèmes s’appliquent aux graphes, des structures de données visuellement représentées par des nuages de points, appelés nœuds, et des lignes qui les relient, les arêtes. L’attention qui leur est portée n’a rien d’étonnante; les graphes servent à représenter nombre de relations dans divers contextes importants tel le transport, les télécommunications, la biologie et l’intelligence artificielle.
 
Pour tout graphe n’appartenant pas à une certaine famille, sa réparation consiste en le retrait de toutes ses erreurs définies par le problème, ou structures interdites, dans l’objectif que le graphe résultant soit membre de ladite famille. Par exemple, un graphe est de la famille des cographes, également appelée P4-Free, s’il ne possède aucun P4 induit. En d’autres mots, un cographe ne doit contenir aucun sous-graphe formé de quatre nœuds et de toutes les arêtes qui les relient, lequel consisterait en un chemin de trois arêtes sans cycle, soit un P4, la structure interdite pour ce cas.

Une réparation est minimale lorsque réalisée en le moins de modification possible. Les modifications peuvent également être limités à certaines opérations tel que la suppression d’arêtes, et les complexités varient hautement entre chaque interprétation. Même sous ses restrictions, le problème de la résolubilité de réparation minimale de cographe par suppressions d’arêtes est dit NP-Complet. Il a été démontré qu’aucune approche classique permet de le résoudre en temps sous-exponentiel, ce qui introduit l’usage de l’algorithmie à complexité paramétrée tel qu’il sera discuté dans la présentation.

Définissons H-Free comme l’ensemble des problèmes de réparation minimale par édition menant à l’absence de sous-graphe induits H. Nous présentons un nouvel algorithme récursif compatible sous certaines conditions à la réparation de graphe H-Free. Cet algorithme utilise une sous-fonction modulable adaptée à chaque problème individuel, laquelle reçoit un sous-graphe prime et peut bénéficier des propriétés associées pour retourner un ensemble de solutions partielles dont l’une est garantie optimale. En adaptant cette sous-fonction à la réparation minimale de cographe par suppression d’arêtes, nous renforçons les résultats actuels en termes de complexité paramétrée alors que les limitations, précédemment impossibles à observer, sont maintenant clarifiées. Il est souhaité que ces connaissances nous permettent d’améliorer ces résultats, et de créer de nouvelles sous-fonctions pour d’autres réparations de graphe H-Free.